集合的概念

  • A set is a group of objects. (simplest way)
  • By a set we mean any collection M into a whole of definite disinct objects m (which we called elements of M) of our perception or thought. (Cantor’s way)

集合（set）是由 指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成的，指定范围内的每一个对象称为这个集合的元素（element）。

  • 集合中的元素是无序的。
  • 集合中的元素是不同的（即，同个集合中相同或重复的元素被认为是一个元素）。

通常情况下，

  • 用带（或不带）下标的 大写英文字母表示集合：$A,B,C,\dots,A_1,B_1,C_1,\dots$
  • 用带（或不带）下标的 小写英文字母表示元素：$a,b,c,\dots,a_1,b_1,c_1,\dots$

ZFC 公理化集合论：

  • 外延公理，
  • 空集存在公理，
  • 无序对公理，
  • 并集公理，
  • 幂集公理，
  • 无穷公理，
  • 替换公理，
  • 正则公理，
  • 选择公理。

常见的集合

  • 空集 $\emptyset$；
  • 正整数集 $\mathbf{N^+}$ or $\mathbf{W}$：$1,2,3,\cdots$
  • 自然数集 $\mathbf{N}$：$0,1,2,3,\cdots$
  • 整数集 $\mathbf{Z}$：$\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$
  • 质数/素数集 $\mathbf{P}$：$2,3,5,7,\cdots$
  • 有理数集 $\mathbf{Q}$；
  • 无理数集 $\mathbf{I}$；
  • 实数集 $\mathbf{R}$；
  • 复数集 $\mathbf{C}$；
  • $\cdots\cdots$

关系：

$$ \mathbf{W} \subseteq \mathbf{N} \subseteq \mathbf{Z} \subseteq \mathbf{Q} \subseteq \mathbf{R} \subseteq \mathbf{C} $$

集合的表示方法

枚举法

枚举法又称列举法或显示法，是枚举出集合中的所有或部分元素（要能看出其他元素之间的规律）。

Example：

  • 枚举出集合中的所有元素：$A = {a,b,c,d}$；
  • 枚举出集合中的部分元素：$B = {1,3,5,\cdots,2n+1,\cdots}$。

叙述法

叙述法又称隐式法，是通过刻画（或用自然语言描述）集合中元素所具备的某种特性来表示集合的方法，通常用符号 $P(x)$ 来表示不同对象 $x$ 所具有的性质 $P$ ，由 $P(x)$ 所定义的集合常记为

$$ {x|P(x)}。 $$

文氏图

文氏图（Venn diagram）又叫维恩图，用于展示集合或类之间的大致关系。

维恩图

一般用方向表示全集，用圆形表示某一特定集合。

递归指定集合法

递归指定集合法是指通过计算规则定义集合中的元素的方法。

Example：

设 $a_0 = 1$，$a_{i+1}=2a_i(i \ge 0)$，定义 $S={a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots}={a_k|k\ge0}$，可以得出集合 $S$ 为

$$ S={1,2,2^2,\cdots,2^n,\cdots}。 $$

归纳法

  1. 指出集合至少要包含的元素

    • 第一部分：基础，指出某些最基本元素属于某集合；
    • 第二部分：归纳，指出由基本元素构造新元素的方法；

  2. 指出集合至多要包含的元素

    • 第三部分：极小性，指出该集合的界限。

基数

Definition：

集合 $A$ 中的元素个数称为集合的基数（base number），记为 $|A|$。

对于任意集合 $A$ 来说，

  • 若 $|A|$ 是有限的，称该集合为有限集（finite set）；
  • 若 $|A|$ 是无限的，称该集合为无限集（infinite set）。

集合与元素的关系

元素与集合之间有两种关系：

  • 属于：如 “$a$ 是集合 $A$ 中的元素” 或 “$a$ 属于 $A$ ” 记为

    $$ a \in A。 $$

  • 不属于：如 “$a$ 不是是集合 $A$ 中的元素” 或 “$a$ 不属于 $A$” 记为

    $$ a \notin A。 $$

集合与集合的关系

外延性原理

Theorem：

两个集合 $A$ 和 $B$ 相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为 $A\ =\ B$，否则 $A$ 和 $B$ 不相等，记为 $A\ \neq\ B$。

包含关系

Definitions：

设 $A$，$B$ 是任意两个集合，

  • 包含与不包含：如果 $B$ 的每个元素都是 $A$ 中的元素，则称 $B$ 是 $A$ 的子集（subset），也称 ${B}$ 被 ${A}$ 包含或 ${A}$ 包含 ${B}$，记作 ${B \subseteq A}$ 或 $A \supseteq B$，称 $\subseteq$ 或 $\supseteq$ 为被包含关系（included relation）或包含关系（inclusion relation）；否则记作 ${B \nsubseteq A}$。

    “$\subseteq$” 定义的数学语言描述为：

    $$ B \subseteq A
    \Longleftrightarrow\ \forall x， 如果 x \subseteq B， 则 x \subseteq A。 $$

    由子集的定义可推出 $A \subseteq A$。

  • 真包含：如果 $B \subseteq A$ 并且 $A \neq B$，则称 $B$ 是 $A$ 的真子集（proper subset），也称做 ${B}$ 被 ${A}$ 真包含或 ${A}$ 真包含 ${B}$，记作 ${B \subset A}$，称 $\subset$ 为真包含关系（properly inclusion relation）。

    “$\subset$” 定义的数学语言描述为：

    $$ B \subset A \Longleftrightarrow 对 \forall x，若 x \in B，则 x \in A，并且 \exists y \in A，但 y \notin B。 $$

相等关系

Theorem：

设 $A$，$B$ 为任意两个集合，则 ${A\ =\ B}\ \Longleftrightarrow\ {A \subseteq B}$ 并且 ${B \subseteq A}$。

常见特殊的集合

空集

Definition：

不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记作 $\emptyset$。

$$ \emptyset = {x|x \neq x} $$

  • 空集是一切集合的子集。
  • 空集是绝对唯一的。

Example：

  • $|\emptyset| = 0$，
  • $|{\emptyset}| = 1$。

证明空集是绝对唯一的

对 “唯一性” 的证明通常采用反证法（先假设 “不唯一”，得出矛盾，从而证明 “唯一性” 是正确的）。

证明：

假设有两个不同的空集 $\emptyset_1$ 和 $\emptyset_2$ ，由空集是一切集合的子集得

$$ \empty_1 \subseteq \emptyset_2\ 和\ \emptyset_2 \subseteq \emptyset_1 $$

根据集合的相等关系，得 $\emptyset_1 = \emptyset_2$，与假设矛盾。因此空集是绝对唯一的。

全集

Definition：

在一个相对固定的范围内，包含此范围内所有元素的集合，称为全集或论集（universal set），用 $U$ 或 $E$ 表示。

在维恩图中一般用方形表示全集。

全集

全集是相对唯一的。

m 元子集

Definition：

如果一个集合含有 $n$ 个元素，则称集合 $A$ 为 $n$ 元子集，称含有 $A$ 中 $m(0 \le m \le n)$个元素的子集为它的 $m$ 元子集。

对于任意 $n$ 元集合 $A$，它的 $m$ 元（$0 \le m \le n$）子集（包含空集）个数为 $C_n^m$ 个，所以不同的子集个数为：

$$ C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = (1 + 1)^n = 2^n。 \tag{1} $$

幂集

Definition：

设 $A$ 为任意集合，把 $A$ 的所有不同子集构成的集合叫做 $A$ 的幂集（power set），记作 $P(A)$，即

$$ P(A)\ =\ {x|x \subseteq A}。 $$

由公式 $(1)$ 可得 $|A| = 2^n(n=|A|)$。

幂集也叫做集族（family of set）或集合的集合。

对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。

集合的运算

集合运算的定义

Definition：

设 $U$ 是全集，$A$、$B$ 是 $U$ 的两个子集，则

  1. “$\cup$” 并运算（union operation）：$A \cup B = {x|x \in A\ or\ x \in B}$ 是 $A$ 与 $B$ 的并集（union）。

    并集

    并集可代表两个集合 “相加”。

  2. “$\cap$” 交运算（intersection operation）：$A \cap B = {x|x \in A\ and\ B}$ 是 $A$ 与 $B$ 的交集（intersection）。

    交集

  3. “$\overline{A}$” 补运算（complement operation）：$\overline{A} = U - A$ 是集合 $A$ 的补集（complement）（也可记为 $A’$、$~A$、$A^c$ 等）。$A$ 对于全集 $U$ 的补集是绝对补集。

    补集

  4. “$-$” 差运算（subtraction operation）：$A-B={x|x \in A\ and\ x \notin B} = A \cap \overline{B}$ 是 $A$ 与 $B$ 的差集（subtraction)，又称 $B$ 在 $A$ 中的相对补集。

    差集

    当 $A=U$ 时，$A-B=\overline{B}$。

  5. “$\oplus$” 对称差运算（symmetric difference operation）：$A \oplus B = {x|(x \in A\ and\ x \notin B)\ or\ (x\in B\ and\ x \notin A} = (A-B) \cup (B-A)$ 是 $A$ 与 $B$ 的对称差集（symmetric difference of set）。

    相对补集

扩展：

设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是任意 $n$ 个集合，则

  • 这 $\mathbf n$ 个集合的并集是包含那些至少是这组集合中一个集合成员的元素的集合，即

    $$ \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}{A_i} = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = {x|x \in A_1\ or\ x \in A_2 \cdots or\ x \in A_n} $$

  • 这 $\mathbf n$ 个集合的交集是那些属于这组集合中所有集合成员的元素的集合，即

    $$ \displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}{A_i} = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = {x|x \in A_1\ and\ x \in A_2 \cdots and\ x \in A_n} $$

当 $n$ 无限增大时，可记为

  • $\displaystyle \bigcup^{\infin}_{i=1}A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots$
  • $\displaystyle \bigcap^{\infin}_{i=1}A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots$

集合运算的基本等式

设 $U$ 为全集，$A$，$B$，$C$ 为任意集合，

性质 等式
幂等率 $A \cup A = A$
$A \cap A = A$
交换律 $A \cup B = B \cup A$
$A \cap B = B \cap A$
结合律 $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
同一律 $A \cup \emptyset = A$
$A \cap U = A$
零律 $A \cup U = U$
$A \cap \emptyset = \emptyset$
分配律 $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
吸收律 $A \cup (A \cap B) = A$
$A \cap (A \cup B)$
矛盾律 $\overline{A} \cap A = \emptyset$
排中律 $\overline{A} \cup A = U$
双重否定律 $\overline{\overline{A}}=A$
德摩根律 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
$\overline{A \cap B} = \overline{A}$

Example：

分配律

证明德摩根律的等式之一：$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

证明：

  1. 证明 $\overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}$

    $\begin{aligned} \forall x \in \overline{A \cup B} \quad & \Rightarrow\ x \notin A \cup B\ \Rightarrow\ x \notin A\ and\ x \notin B\ & \Rightarrow x \in \overline{A}\ and\ x \in \overline{B}\ \Rightarrow\ x \in \overline{A} \cap \overline{B}， \end{aligned}$

    即 $\overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}$；

  2. 证明 $\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}$

    $\begin{aligned} \forall x \in \overline{A} \cap \overline{B} \quad & \Rightarrow\ x \in \overline{A}\ and\ x \in \overline{B}\ \Rightarrow\ x \notin A\ and\ x \notin B\ & \Rightarrow\ x \notin A \cup B\ \Rightarrow\ x \in \overline{A} \cap \overline{B}， \end{aligned}$

    即 $\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}$。

综上可得 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$。

无限集合

有限集合与无限集合的根本区别是：对于无限集合，表面上个数完全不相等的两个集合之间仍可能存在等势关系，如集合与真子集之间。

等势

冯·诺依曼的自然数定义：

基于基数，利用一个集合的序列来定义自然数。

  1. $\emptyset \in \mathbf{N}$；
  2. 若 $n \in \mathbf{N}$，则 $n’ \equiv n \cup {n} \in \mathbf{N}$。

从而，这个集合序列的基数可以来定义自然数：

  • $0 \equiv \emptyset$；
  • $1 \equiv \emptyset \cup {\emptyset} = {\emptyset} = {0}$；
  • $2 \equiv {\emptyset} \cup {{\emptyset}} = {\emptyset, {\emptyset}} = {0,1}$；
  • $\cdots$
  • $n \equiv {0,1,2,3,\cdots,n-1}$；
  • $\cdots$
  • $\mathbf{N} \equiv {0,1,2,\cdots,n,\cdots}$。

实际上，任意含有 $n$ 个元素的集合都可以用 $n$ 表示。即，任意两个基数相同的集合之间都可以建立一一对应关系。

Definition：

设 $A$，$B$ 为两个集合，若在 $A$，$B$ 之间存在一种一一对应的关系：

$$ \Psi:\ A \rightarrow B $$

则称 $A$ 与 $B$ 是等势的（equipotential），记作：

$$ A \sim B $$

也称集合 $A$、$B$ 等势（equipotent）。

由等势定义可得，如果 $A = B$，那么 $A \sim B$，反之则不一定成立。

Theorem：

  1. 两个有限集合等式当且仅当它们有相同的元素个数。
  2. 有限集合不和其任何真子集等势。 3.可数集合可以与其可数的真子集等势。

可数集合

Definition：

凡与自然数集合 $\mathbf{N}$ 等势的集合，称之为可数集合（countable set），该类集合的基数记为 $\aleph_0$（aleph，阿列夫）。

Example：

证明以下集合是可数集合，

  1. $O^+ = {x|x \in \mathbf{N}，x是正奇数}$

    在 $O^+$ 与 $\mathbf{N}$ 之间建立一个一一对应关系 $\varphi_1 : \mathbf{N} \rightarrow O^+$：

    $$ \begin{matrix} 0& 1& 2& \cdots& n& \cdots\ \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow\ 1& 3& 5& \cdots& 2n+1& \cdots&\ \end{matrix} $$

    所以 $O^+$ 是可数集合。

  2. $P = {x|x \in \mathbf{N}，x是素数}$

    在 $P$ 与 $\mathbf{N}$ 之间建立一个一一对应关系 $\varphi_2 : \mathbf{N} \rightarrow P$：

    $$ \begin{matrix} 0& 1& 2& 3& 4& \cdots\ \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow& \downarrow\ 2& 3& 5& 7& 11& \cdots&\ \end{matrix} $$

    所以 $P$ 是可数集合。

  3. 有理数集合 $\mathbf{Q}$

    将 $\mathbf{Q}$ 中的所有元素都写成 $p/q$（$p$、$q$ 是整数，且 $q \neq 0$）的形式，从 $0/1^{[0]}$ 开始，将所有有理数与自然数一一配对（其中 $p/q^{[n]}$ 的上标 $[n]$ 代表对应于该有理数的自然数）：

    证明Q是可数集合

    所以 $\mathbf{Q}$ 是可数集合。

不可数集合

Definition：

开区间 $(0,1)$ 称为不可数集合，凡与开区间 $(0,1)$ 等势的集合，都称为不可数集合，该类集合的基数记为 $\aleph$（或 $\aleph_1$）。

Example：

  1. 闭区间 $[0,1]$ 是不可数集合。

    证明：在 $[0,1]$ 和 $(0,1)$ 之间建立如下对应关系：

    $$ R: \begin{cases} \begin{matrix} 0& \rightarrow& 1/4 \ 1& \rightarrow& 1/2 \ \cfrac{1}{2^n}& \rightarrow& \cfrac{1}{2^{n+2}},& n=1,2,3,\cdots \ n& \rightarrow& n,& 其他 n \in (0,1)\ \end{matrix} \end{cases} $$

    显然 $[0,1]$ 与 $(0,1)$ 是等势的，所以 $[0,1]$ 是不可数集合。

  2. 实数集 $\mathbf R$ 是不可数集合。

    证明：在实数集 $\mathbf R$ 和开区间 $(0,1)$ 之间建立如下对应关系：

    $$ n \rightarrow \tan{\pi\bigg(\cfrac{2n-1}{2}\bigg)} $$

    显然 $(0,1)$ 与 $\mathbf{R}$ 之间是等势的，所以 $\mathbf{R}$ 是一个不可数集合。